LOGIKA

LOGIKA

Logika Matematika adalah sebuah alat untuk bekerja dengan pernyataan(statement) majemuk yang rumit.

Dasar-dasa Tentang Logika:

 A.ypothetical Syllogism ( contoh 1)
1) JikaA maka B
2) JikaB maka C
3) JikaA maka C
B.Disjunctive Syllogism (contoh2)
1) A atau B
2) Bukan B
3) A

C.Modus Ponens (contoh3)
1) Jika A maka B
2) A
3) B
D.Modus Tolens (contoh4)
1) Jika A maka B
2) Bukan A
3) Bukan B

Logika Proposisi

Logika proposisi adalah Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Booleanconnectives).

Jenis Proposisi
-Atomic
adalah proposition yang tidak dapat dibagilagi.
-majemuk
      -

Operator / Boolean Umum
a.Operator Negasi
b.Operator Konjungsi
c.Operator Disjungsi
d.Operator Exclusive-OR
e.Operator Implikasi
f.Operator Biimplikasi


a.Operator Negasi
   Contoh: Jika p = Hari ini hujan
               maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan
b.Operator Konjungsi
   Contoh: p = Galih naik sepeda
                q = Ratna naik sepeda
                p∧q = Galih dan Ratna naik sepeda
c.Operator Disjungsi
   Contoh: p = Mesin mobil saya rusak
                q = Karburator mobil saya rusak
                p∨q = Mesin atau karburator mobil saya rusak
d.Operator Exclusive-OR
   Contoh: p = Saya akan mendapat nilai A dikuliah ini
                q = Saya akan drop kuliah ini
           p⊕q = Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop kuliah ini (tapi dua-duanya!)
e.Operator Implikasi
    Contoh: p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih
                 q = Anda mendapat nilaiA
          p →q = Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda mendapat nilai A
f.Operator Biimplikasi
    Contoh: p = SBY menang pada pemilu 2004
                 q = SBY akan menjadi presiden mulai tahun 2004
          p ↔q = Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden mulai    
                        tahun 2004

FUNGSI

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi.
Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu
pasangan, y,anggota himpunan B
Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.
Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :

  f : A → B
artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi





DOMAIN, KODOMAIN DAN JELAJAH
1.f : A → B

2.A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.

3.Misalkan f(a) = b,

-maka b dinamakan bayangan (image) dari a,

-dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

4.Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.

PENULISAN FUNGSI

          Himpunan pasangan terurut.

Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :

         f = {(2, 4), (3, 9)}
Formula pengisian nilai (assignment)

        f(x) = x2 + 10,

       f(x) = 5x 

JENIS-JENIS FUNGSI



Fungsi INJEKTIF

-Fungsi satu-satu

-Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Fungsi SURJEKTIF

-Fungsi kepada

-Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam

         kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.

-Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua kodomain adalah peta dari domain).

FUNGSI BIJEKTIF

-Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.

-Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif

Fungsi invers

-Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri

-f : A ® B      di mana  f(a) = b

-f –1: B ® A  di mana  f –1(b) = a

-Catatan: f dan f –1 harus bijective

OPERASI FUNGSI

-(f + g)(x) = f(x) + g(x)

-(f . g)(x) = f(x) . g(x)

-Komposisi:

  (f o g)(x) = f(g(x))